Le nombre d'or

Le nombre d'or est égal à $ \large {\sqrt 5 + 1} \over 2 $, ce qui fait à peu près 1,618033989 . Il est en général représenté par le symbole $ \phi $ .

 

Définition

 

La définition la plus ancienne de ce nombre est basée sur une propriété des dimensions d'un rectangle. Il faut que ce rectangle, accolé à un carré dont le coté est égal à la longueur du rectangle, forme un nouveau rectangle dont le rapport longueur sur largeur soit le même que le rectangle de départ.

Cela peut se formuler de la façon suivante:

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$ \large { {{L + l} \over L} = {L \over l} } $

Si on pose $ L = \phi l $ , cela donne:

$$ \phi = \frac { \phi + 1 } \phi $$

C'est-à-dire:

$$ \phi^2 - \phi - 1 = 0 $$


Les deux solutions de cette équation sont de signe contraire, puisque leur produit est négatif. C'est la solution positive qui est égale au nombre d'or.



Propriétés : fraction continue

Voici quelques propriétés du nombre d'or, que nous allons plutôt amener que démontrer.

On peut, par exemple, écrire que:

$$ \phi = 1 + \frac 1 \phi$$

Si, dans l'expression de droite, on remplace $ \phi $ par son expression, et si on renouvelle l'opération:

$$ \phi = 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 \phi}$$

$$ \implies $$

$$ \phi = 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 {1 + \frac 1 \phi}}$$

$$ \implies ...$$

On démontre que le nombre d'or est égal à la fraction continue:

$$ \phi = 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 {1 + ...}}$$


Propriétés : radicaux

En reprenant l'équation initiale, on peut encore écrire:

$$ \phi^2 = \phi + 1$$

$$ \implies $$

$$ \phi = \sqrt {1 + \phi} $$

Si, là encore, dans l'expression de droite, on remplace $ \phi $ par son expression, et si on renouvelle l'opération:

$$ \phi = \sqrt {1 + \sqrt {1 +\phi}} $$

$$ \implies $$

$$ \phi = \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 +\phi}}} $$

$$ \implies ...$$

On démontre que le nombre d'or est égal au radical continu:

$$ \phi = \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + ...}}} $$